Dopo la conclusione di tre lunghi anni di studio in ingegneria aerospaziale, mi sono reso conto di quanto sia fondamentale avere un buon metodo di studio per poter proseguire i propri studi efficientemente. L’efficienza dello studio non consiste solo nella media dei voti, ma anche nel tempo richiesto per avere quella media. L’efficienza massima si ha nel raggiungere la più alta media possibile nel minor tempo possibile.
In questo articolo cercherò di dare qualche suggerimento per riuscire ad aumentare l’efficienza del proprio studio, ma è importante tenere presente che il metodo di studio è puramente soggettivo e ciò che scrivo in questo articolo può esservi d’aiuto, ma non deve necessariamente sostituire il vostro attuale modo di studiare.

Sottolineare

La prima cosa che credo bisogni imparare quando si studiano materie scientifiche, è sottolineare. Il modo di sottolineare testi scientifici è completamente diverso dai testi letterari. Molto spesso mi è infatti capitato di vedere libri, appunti e slides completamente sottolineati! La sottolineatura, sembra inutile dirlo, ma serve ad evidenziare particolari paragrafi di un testo, ma nel momento in cui si sottolinea… tutto, perde completamente di utilità!
La scusa che solitamente sento dalle persone che sottolineano tutto, è che “tutto è importante!” e quindi sottolineano tutto.

I consigli che voglio darvi nel sottolineare un testo sono due: il primo è non sottolineare alla prima lettura, è infatti impossibile sapere quali sono le cose più importanti di un testo se non si ha la visione globale del capitolo. Il secondo è non sottolineare le cose più importanti, ma quelle più difficili da ricordare, magari qualche dettaglio o una formula che ci si dimentica spesso quando si ripete quel paragrafo, e non le affermazioni più importanti, perché sono quelle che più probabilmente riusciamo a imparare e ricordare.

Un aspetto importante della sottolineatura è anche quello di dare un aspetto più «personale» alle pagine di un libro, caratteristica che aiuta molto la memoria, e utilizzare evidenziatori di colori differenti aiuta molto sotto questo aspetto.

Come ripetere

I testi tecnici e scientifici sono generalmente strutturati in modo da esprimere alcuni concetti elementari e definizioni all’inizio del testo, per poi utilizzarli e rielaborarli in modo più complesso nel seguito. Può capitare di non avere una visione molto chiara di un concetto base quando lo si legge la prima volta e di non riuscire a capirlo neanche dopo più letture. È importante in questi casi non fermarsi nella lettura del testo e proseguire anche se non tutto è chiaro. Lo studio infatti non si deve limitare ad una sola perfetta lettura del testo, ma deve essere progressivo e basato su tre, quattro o anche più letture del materiale: la prima lettura deve servirci ad avere una visione globale della materia che stiamo studiando e a prendere confidenza con i termini, le notazioni e i concetti base. Ad una seconda lettura risulterà tutto molto più chiaro e si riusciranno a capire tutti quei concetti che prima ci erano oscuri. Soltanto all’ultima lettura possiamo concentrarci sull’aspetto «mnemonico» dello studio, perché è molto più semplice (e soprattutto utile) ricordare concetti che si ha ben chiari, piuttosto che formule e ragionamenti senza senso.

Inoltre, molti concetti con cui non abbiamo alcuna confidenza, richiedono un po’ di tempo per essere maturati. Smettere di studiare o cambiare argomento aiuterà la nostra mente ad abituarcisi e a prendervi confidenza.

Materiale didattico

Il materiale per lo studio non deve assolutamente essere troppo vasto. Per quanto possa essere bella e interessante una materia, lo studio finalizzato ad un esame deve limitarsi alla giusta quantità di materiale didattico.
Nel caso in cui si abbia seguito il corso, appunti personali o di un collega associati ad un libro di testo possono essere sufficienti. Gli appunti presi a lezione sono estremamente utili perché esprimono i concetti esattamente come il professore vorrebbe risentirsi dire all’esame, ma possono contenere errori che lo stesso professore può commettere durante la lezione. I libri di testo sono molto più affidabili ed è quasi sempre indipensabile utilizzarli per la preparazione dell’esame.
Se avete un libro di testo completo, evitate di utilizzarne altri, perché gli stessi concetti espressi diversamente possono compromettere di brutto la memoria!
Le registrazioni audio delle lezioni possono essere utili, ma non bisogna abusarne. Risentirsi tutte le lezioni per avere degli appunti perfetti è una grandissima perdita di tempo, perché i professori possono commettere errori durante le lezioni ed è molto meglio acquistare direttamente un libro di testo. L’utilità principale delle registrazioni audio è quella di correggere e verificare passaggi degli appunti che non siamo riusciti a scrivere correttamente. Ma se siete rapidi a scrivere, sono pressoché inutili.

I corsi e il ricevimento

Seguire i corsi ad una facoltà scientifica è importantissimo! Non mi sento di dire che sia addirittura fondamentale, ma è comunque importante. Molti concetti tecnici sono talmente complicati che a studiarli da soli ci si perde più del doppio del tempo che a capirli spiegati da un professore. Ovviamente è fondamentale che il professore sia in grado di spiegarli e di farsi capire, perché capitano spesso professori estremamente competenti nel loro campo, ma che non sono assolutamente in grado di tenere una lezione che sia comprensibile ad uno studente.
Quando il professore è in grado di tenere alta la soglia di attenzione ed è anche simpatico, seguire il corso diventa una goduria 🙂

Spesso il ricevimento dei professori viene molto sottovalutato. Capita di incontrare professori sgarbati e non molto disposti ad aiutarci, ma la maggior parte di loro è molto affabile e disponibile nel darci spiegazioni.
Il modo migliore di sfruttare questa opportunità di chiarimento è scriversi da parte tutte le cose che non si riesce a capire e andare a ricevimento solo alla fine dello studio della materia, in modo da essere sicuri sia di non riuscire a capire con le proprie forze, sia di comprendere una eventualmente complessa risposta da parte del professore.

Quante cose sapere

È importante rendersi conto che andare ad un esame con la conoscenza totale di una materia è impossibile. Le materie scientifico-tecniche sono talmente vaste e in aggiornamento che non è possibile sapere tutto (a meno che non si voglia scambiare la propria anima col diavolo in cambio dell’assoluta conoscenza… :D). Spesso addirittura alcune cose devono ancora essere scoperte!
Non sapere tutto di una materia non significa però non essere perfettamente preparati per un esame. Generalmente non viene chiesto più di quanto non sia stato spiegato durante il corso (o sia scritto sul libro di testo).

Bella e brutta

Per quanto riguarda gli esami scritti, ricopiare gli esercizi in bella è assolutamente inutile. È importante essere ordinati e far capire cosa abbiamo scritto, ma farsi problemi per una cancellatura non ha alcun senso.
I professori guardano al contenuto e un giudizio sull’estetica del compito è assolutamente contestabile!
Ha molto più senso perdere gli ultimi 10 minuti di tempo a disposizione per ricontrollare ciò che abbiamo fatto, che ricopiare il compito in bella e rischiare di commettere degli errori nella copia.

Luoghi e abitudini

Quando si prepara un esame è importante dare un ritmo alle proprie abitudini. Svegliarsi ogni mattina alla stessa ora, studiare sempre nello stesso luogo, andare a dormire sempre presto…
Trovare le giuste abitudini è molto difficile se si studia a casa. Il mio consiglio è quello di trovarsi un luogo di studio: le aule studio sono ideali se si vuole studiare in gruppo perché si può parlare, le biblioteche sono perfette per concentrarsi e studiare da soli in silenzio.
Anche se si ha un buon posto per studiare a casa, questa è comunque piena di fonti di distrazione: il computer, il telefono che squilla, bussano alla porta, la signora delle pulizie… Nello studio è importantissima la continuità, elemento che non sempre è possibile raggiungere quando si studia a casa.
Un altro punto a favore nello studiare fuori casa è che bisogna rispettare determinati orari, ed è quindi più facile svegliarsi presto la mattina per poter studiare più tempo.

Giornata lavorativa

Se si cerca di studiare per troppe ore al giorno (10-12 ore!) è inevitabile che ad un certo punto il cervello collassi e diventi difficilissimo mantenere la concentrazione, abbassando tantissimo l’efficienza dello studio.
Un paragone che può aiutare molto a evitare perdite di tempo è quello della giornata di studio con una giornata lavorativa: invece di cercare di battere tutti i record di tempo senza dormire, si può stabilire un certo orario per studiare, da rispettare tassativamente (come se fosse un lavoro!), con le pause pranzo/caffè ben definite.

9:00 – 13:00 studio
13:00 – 14:00 pausa pranzo
14:00 – 18:00 studio

Stabilendo degli orari precisi diventa molto più facile concentrarsi nello studio e rilassarsi quando è dovuto.

Bevande energetiche

Le bevande energetiche a base di taurina, fiori di guaranà e ginseng sono molto pericolose. Sono perfette per riuscire a rimanere svegli per un certo periodo, ma provocano estrema sonnolenza quando svanisce l’effetto.
È vero inoltre che aiutano a concentrarsi, ma non aiutano assolutamente a trovare la voglia di studiare. Se state perdendo tempo e prendete una Redbull, continuerete a perdere tempo. Solo che in maniera molto più nervosa!
Un caffè è l’ideale per combattere la sonnolenza dopo pranzo e aiuta a riprendere la concentrazione.

Studiare in compagnia

Preparare un esame scritto in gruppo è più facile e rasserenante che prepararlo da soli, ma per gli esami orali non si può studiare in più di due persone.
Preparare un orale con un’altra persona può essere estremamente utile, sia che l’altra persona sia più, che meno competente di noi. Nel primo caso ci sarà preziosa per capire cose che non avremmo capito da soli, nel secondo caso ci permetterà di capire ancora meglio le cose che pensavamo ci fossero chiare.
“Non hai veramente capito qualcosa finché non sei in grado di spiegarla a tua nonna” (Cit.)
Studiare in compagnia è più stimolante e ci permette di far sorgere e chiarire dubbi che sarebbero altrimenti rimasti nascosti.

Il computer

Avere un computer nella preparazione di un qualsiasi esame può sempre fare comodo. Fate attenzione ai forum, che possono essere utili per chiedere chiarimenti e farsi un’idea di un esame, ma non è detto che sia l’idea giusta e che non sia fondata solo su dicerie!
Strumenti come Wikipedia e Wolframalpha possono semplificarci moltissimo la vita, ma bisogna saperli usare.

Non sottovalutate inoltre la possibilità di trovare simulatori e codici già fatti riguardante l’esame che state preparando: provare con mano un simulatore di fisica, di ottica o di elettronica può schiarirvi le idee più di qualsiasi spiegazione, ma se dovete perderci un mese solo per imparare ad usarlo, probabilmente non ne è il caso… 😉

Buono studio!

Ho già parlato delle potenzialità di Wolfram Alpha in un precedente articolo, ciò che voglio fare ora è descriverne il suo funzionamento finalizzato all’esame più temuto al primo anno delle facoltà scientifiche: Analisi matematica.

Innanzitutto, è importante sapere che tutte le operazioni matematiche svolte da Wolfram Alpha, sono eseguite da Wolfram Mathematica, un software commerciale della Wolfram. La sintassi di Wolfram Alpha non è la stessa di Mathematica, ma essendo in grado di comprendere quasi ogni tipo di richiesta, spesso riesce ad interpretare anche la sintassi di Mathematica.

I comandi che utilizzo in questo articolo come input per Wolfram Alpha non sono gli unici comandi che si possono utilizzare per ottenere lo stesso risultato. Ad esempio, se voglio calcolare la somma di due numeri, posso scrivere “4+9“, “sum of 4 and 9“, “what is the sum of 4 and 9?” o ancora “can you tell me the sum of 4 and 9?“.
Se trovate dei comandi più intuitivi di queli che ho utilizzato io, ben venga :).

Funzioni

La prima cosa che possiamo provare a fare con Wolfram Alpha è uno studio di funzione.
Consideriamo la funzione:

Inserendo l’espressione di questa funzione in Wolfram Alpha (link), il programma ci fornirà una serie di informazioni utili per lo studio della funzione:

• Input: è la funzione che abbiamo appena inserito.
• Plots: una serie di grafici caratteristici della funzione. Il primo per x da -4 a 6, il secondo per x da -40 a 40. Gli estremi dei grafici variano a seconda della funzione e sono generati in modo da permettere una visione di tutte le sue particolarità.
  Entrambi i grafici sono costituiti da una linea rossa e una linea blu. Se si considera la funzione definita solo in un sottoinsieme dei numeri reali, il dominio è a causa della radice, e il grafico è rappresentato dalla linea blu. Se però consideriamo la funzione in un sottoinsieme dei numeri complessi, la radice è definita sempre e l’unica limitazione del dominio è . La linea rossa rappresenta quindi la parte immaginaria della funzione e in è tracciata una linea verticale che ne costituisce un asintoto.
  
• Alternate forms: una serie di espressioni alternative con le quali possiamo esprimere la nostra funzione. È molto utile ad esempio se la nostra funzione va considerata in un prodotto di funzioni e ci sono elementi che si possono semplificare.
• Roots: sono le radici (o zeri) della funzione, ossia i valori delle x per i quali la funzione vale zero.
• Series expansion at x = : è lo sviluppo in serie di Taylor della funzione, con punto di partenza in alcuni valori caratteristici della funzione come le radici, l’origine e all’infinito.
  Per calcolare lo sviluppo in serie di Taylor con un punto di partenza diverso, basta scrivere “f(x) series expansion in x=k“, dove f(x) è la nostra funzione e k il punto di partenza che ci interessa (link).
  Verrà inoltre effettuato un grafico di confronto tra la funzione e i suoi sviluppi in serie di primo e secondo ordine:
  
• Derivative: è la derivata della funzione rispetto ad x.
• Indefinite integral: è l’integrale indefinito della funzione, ossia una sua primitiva. Notare che e sono rispettivamente Arcotangente e Arcoseno, come è scritto in basso a destra.

Conoscere l’espressione della derivata e dell’integrale di una funzione è senza dubbio un’informazione notevole, per chi è alle prese con uno studio di funzione. Ma un’informazione ancora migliore sarebbe conoscere i passaggi da seguire per arrivare all’espressione di quella derivata o integrale. Ebbene, Wolfram Alpha ci fornisce persino questa informazione.
Cliccando infatti su Show steps verranno mostrati tutti i passaggi che bisogna seguire per risolvere quella derivata o quell’integrale.
Per l’integrale suggerisce infatti di effettuare prima una sostituzione trigonometrica, poi una seconda sostituzione e infine mostra il valore di ogni integrale che permette di arrivare alla soluzione finale (link).
(beh, sì, ho inventato una funzione che ha un integrale davvero particolarmente complesso!)

• Global maximum/minimum: sono i punti di massimo e minimo assoluti della funzione, con i rispettivi valori.
• Limit: sono dei limiti della funzione calcolati a e . Ovviamente viene considerata la parte immaginaria della funzione, dato che la parte reale è definita soltanto tra -1 e +1.
• Series representations: un’altra rappresentazione in serie della funzione.
• Property: nel caso in cui la funzione soddisfi particolari proprietà di simmetria o periodicità, queste verranno indicate sotto questa voce. Ad esempio, nel caso del seno, ci informa che questo è periodico di (link).

Integrali e derivate

Abbiamo già visto come nello studio di funzione Wolfram Alpha sia in grado di calcolare, tra le varie cose, un integrale o una derivata.
Se però abbiamo bisogno di maggiori informazioni su un integrale o una derivata, basterà inserire come input “integrate f(x)“, oppure “derivate f(x)“, dove f(x) è la nostra funzione (link 1, link 2).

Come prima, dopo aver calcolato il valore della derivata o dell’integrale con tanto di passaggi intermedi, verranno riproposte una serie di informazioni relative allo studio di funzione, dove questa volta la funzione studiata è la derivata o l’integrale della funzione che stavamo studiando. E quindi: grafico, forme alternative, radici, sviluppi in serie, ecc…

Potrebbe essere necessario però calcolare il valore di un integrale definito.

Basterà inserire come input “integrate f(x) from a to b“, dove a e b sono i nostri estremi di integrazione (link).
Verrà mostrato il valore numerico dell’integrale e una sua rappresentazione grafica.
Qualora il risultato dovesse essere espresso in forma decimale, è possibile mostrare quante cifre decimali si desidera cliccando su More digits.

Un’altra operazione interessante è quella di derivata parziale. Se abbiamo infatti una funzione definita in :

Per avere la derivata rispetto ad x, basta scrivere “derivate f(x,y) in x” e quella rispetto ad y “derivate f(x,y) in y” (link).

Ancora una volta, con i relativi passaggi (Show steps).

Risoluzione di equazioni

Wolfram Alpha offre una quantità inimmaginabile di strumenti matematici. Uno dei più semplici e più utilizzati, è la risoluzione di equazioni.
Risolvere un’equazione è semplicissimo, basta digitare “solve eq(x)“, dove eq(x) è la nostra equazione (link).
Oltre alle soluzioni reali, verranno ovviamente fornite anche le soluzioni in campo complesso.

Per risolvere un sistema di equazioni, siano esse di qualsiasi tipo, basta scrivere le equazioni separate da una virgola.
Esempio: “solve x+3y=5, 4x-8y=0” (link).

Oltre alla risoluzione di equazioni tradizionali, Wolfram Alpha è in grado di risolvere molti altri tipi di equazioni, come ad esempio le equazioni differenziali. Per risolvere, ad esempio, questa equazione differenziale:

basta digitare “solve y(x)+3y'(x)=x^2” (link). Verrà restituito il tipo di equazione differenziale (nel nostro caso ordinaria lineare di primo ordine), l’insieme di funzioni che soddisfano l’equazione (se esiste), il grafico di una delle soluzioni con la relativa derivata, e un grafico dell’andamento di queste funzioni:

Le capacità di Wolfram Alpha non si fermano neanche davanti ad un’equazione differenziale non lineare di terzo ordine, come l’Equazione di Blasius:

Questa equzione non ha soluzioni analitiche, ma esclusivamente numeriche.
Wolfram Alpha non dà la soluzione numerica (forse sarebbe troppo!) ma ci fornisce comunque un grafico dell’andamento della funzione e delle sue derivate (link).

Per informazione, l’equazione può essere risolta comunque semplicemente utilizzando Wolfram Mathematica, con i tre seguenti comandi:

sol=NDSolve[{f'''[x]+0.5f[x]*f''[x]==0,f'[0]==0,f[0]==0,f'[50]==1},f,{x,0,10}]
b[x]=f[x]/.sol
Style[TableForm[{Table[x,{x,0.1,8,0.2}],Table[{Evaluate[f[x]/.sol]},{x,0.1,8,0.2}],Table[{Evaluate[f'[x]/.sol]},{x,0.1,8,0.2}],Table[{Evaluate[f''[x]/.sol]},{x,0.1,8,0.2}]},TableDirections->Row,TableHeadings->{{"n", "f", "f'", "f''"},None}],12]

Successioni e serie numeriche

Per quanto riguarda successioni e serie numeriche, l’informazione che generalmente interessa lo studente di Analisi è la convergenza.

– Per le successioni, basta calcolare un limite. Il comando per risolvere un limite è “limit f(n) n to k“, dove f(n) è la successione, k è il valore a cui fate tendere n (per infinito, è infinity).
Ad esempio, per la successione:

basta digitare “limit n/(n+1) n to infinity” (link).

– Per le serie numeriche il comando è “sum f(n) n to infinity“. Ad esempio per:

basta digitare “sum 1/(n^2+1)” (link).
Anche qui, come per integrali e derivate, le informazioni fornite sono molto interessanti:

• Infinite/approximate sum: il valore della sommatoria in forma analitica (se esiste) e decimale.
• Finite sum approximation: è una stima della somma per valori di n finiti. (il suo valore non indica che la serie converge!)
• Convergence tests: questa voce è molto interessante, perché ci informa di quali criteri di convergenza sono stati applicati, e quali di questi sono soddisfatti.
• Partial sums: è un grafico delle somme parziali che mette in mostra l’andamento della serie.
• Partial sum formula: è un’espressione per le somme parziali.

Infine, ecco il link del portentoso strumento:
http://www.wolframalpha.com